Teilbarkeitskarte

Ein Lernmittel zu den Kriterien der Teilbarkeit, vom Bildungsministerium empfohlen

Editione Baldamenti Via Locatelli 7 Bergamo 
Zweifarbige Ausführung 1000 Lire in ganz Italien

VORTEILE DER «TEILBARKEITSKARTE VON BADALAMENTI»

Mit der Einführung der «Teilbarkeitskarte» in Mittel-, Anfänger- und Pflichtschulen (erste, zweite und dritte Klasse) haben Sie folgende Vorteile:

1 – Die Teilbarkeitskarte beseitigt Lernhindernisse. Der Mathematikunterricht lehrte bisher die Kriterien der Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 11, um die Zerlegung in Primfaktoren zu erleichtern, aber es ging nicht über diese Teiler hinaus, weil es an Teilbarkeitskriterien mangelte, die Kindern zugänglich waren. Nachdem Gaetano Badalamenti dieses allgemeine Teilbarkeitsschema entdeckt hat, hat er es in einer klaren und einfach zu verwendenden mechanischen Form angepasst und die hier vorgestellte doppelseitige Tafel entworfen. Wir können also zum Nutzen des Mathematikstudiums auf Teilbarkeitskriterien für die Zahlen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37, 41, 43 zurückgreifen. 

2 – Sie ermöglicht den Schülern, viele Operationen an Brüchen in viel kürzerer Zeit als bisher durchzuführen, da die Zeitverschwendung der vielen nutzlosen Unterteilungen, die durchgeführt werden mussten, um nach dem Faktor zu suchen, wenn die bereits bekannten Kriterien für 2, 3, 5, 11 nicht ausreichten, vollständig beseitigt wird.

3 - Sie ist nützlich, um Mathematik zu lernen, da Sie anstelle von 5 oder 6 Zerlegungsübungen von Hand mit dem Lineal mindestens 15 oder 20 in kürzerer Zeit ausführen können. 

4 – Ihre Verwendung hilft Fehler zu vermeiden

5 – Sie ermöglicht die Verwendung eines Präzisionsinstruments schon in den frühesten Klassen

6 – Sie erspart die Suche in Primzahltabellen, da diese auf dem Lineal direkt angegeben sind. 

7 – Der Lehrer kann problemlos jede Übung aufgeben, ohne zuvor zumutbare Nenner berechnen zu müssen. Tatsächlich zerlegt das Lineal alle Zahlen bis zu 6400 (ungerade bis zu 3199). 

I – THEORIE

Die "Karte zur Teilbarkeit von Zahlen" basiert auf einer Theorie, die der italienische Mathematiker Gaetano Badalamenti 1957 entdeckte. Damals befassten sich das italienische Radio und die italienische Presse damit. Kürzlich wurde der Erfinder von Radio Monteceneri, dem Schweizer Fernsehen und mehreren ausländischen Zeitungen interviewt. Die Theorie wird durch das italienische Industriepatent Nummer 572650 geschützt und das eigentliche Werkzeug mit dem italienischen Patent Nummer 593077.

Im Ausland ist die Karte in den Hauptnationen durch ebenso viele Patente geschützt. 

1962 gewann der Erfinder auf der XI. Internationalen Ausstellung für Erfindungen in Brüssel die einzige Goldmedaille von siebzehn teilnehmenden Nationen in der Kategorie "Bildungsinstrumente". 

II – ANWENDUNG

Wir wissen, dass die Mathematik uns lehrt, die Teilbarkeit einer Zahl anhand der seit langem bekannten Teilbarkeitskriterien für 2, 3, 5, 11 und für die Quadrate oder oder dritten Potenzen dieser Zahlen festzustellen. 

Über 11 hinaus gibt es keine einfach anzuwendenden Teilbarkeitsregeln, und man muss durch Ausprobieren fortfahren und für jeden Test eine vollständige Unterteilung durchführen. Das Verfahren ist langwierig, nervig und fehleranfällig, so dass es den Schüler zum Nachteil des Themas irritiert. 

Unsere Teilbarkeitskarte beseitigt diese Nachteile und zeigt sofort an, ob eine Zahl teilbar oder eine Primzahl ist. Im Fall der Teilbarkeit gibt sie alle Faktoren, d. h. die Primzahlen, durch die sie geteilt werden können, gleichzeitig an. Sie weist jedoch nur auf die erste Potenz hin, das heißt, es gibt nicht die vollständige Zerlegung. Dies stellt ein allgemeines Teilbarkeitskriterium bis 43 (durch 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) dar. Das ist mehr als genug für den normalen Schulgebrauch. 

Die Faktoren erscheinen in der ersten Potenz, da es antididaktisch wäre, wenn die Regel die vollständige Aufschlüsselung geben würde, die für die Schüler der Mittelschule und den guten Willen bestimmt ist, die dieses Verfahren lernen müssen. Von jeder in der Regel markierten Zahl finden wir daher alle angegebenen Primfaktoren, d.h. alle Teiler, die kleiner als 47 sind. Wenn die Zahl andere Teiler hat, ergeben sich diese aus der Zerlegung, aber sie sind sicherlich größer als 43.

Die Teilbarkeitskarte ermöglicht so Berechnungen mit Brüchen, Summe und Differenz zweier Brüche, Reduktion auf die minimalen Terme, d.h. es hilft auf der Suche nach dem maximalen gemeinsamen Teiler und dem minimalen gemeinsamen Vielfachen. 

III – DIE TEILE DES INSTRUMENTS

Das komplette Instrument ist in drei Teile unterteilt: Läufer, Winkelmesser und die eigentliche Teilbarkeitskarte. 

LÄUFER aus transparentem Material – Er ist horizontal verschiebbar und hat zwei kleine vertikale Hilfslinien, die zur Einstellung auf den Zehner und Einer auf der oberen oder unteren Skala oder verwendet werden. 

WINKELMESSER aus bedrucktem transparentem Material - Es ist vertikal verschiebbar und hat eine ringförmige Krone, auf der kleine Segmente markiert sind, die alle auf die Mitte der Anzeige gerichtet und mit den Primzahlen von 3 bis 23 markiert sind. Sie werden verwendet, um die geraden geneigten Linien zu identifizieren, die das Lineal füllen. Auf der linken Seite befindet sich außerdem ein Pfeil, der auf die Hunderter der zu zerlegenden Zahlen gerichtet ist. 

TEILBARKEITSKARTE beidseitig bedruckt: a) dichte vertikale Hilfslinien b) ebenso dichte horizontale Hilfslinien c) ein Netzwerk geneigter Linien, unterteilt in große Gruppen von Parallelen mit unterschiedlichen Neigungswinkeln d) viele Punkte und andere Zeichen in Form geometrischer Figuren. Auf der rechten Seite befindet sich die Legende für die Punkte und die geometrischen Figuren. 

Die horizontalen Linien repräsentieren die Hunderter. Jede Linie repräsentiert die Hundert, die am Anfang der Linie am linken Rand des Lineals stehen. 

Vertikale Linien repräsentieren die Zahlen von 1 bis 99. Jede Linie repräsentiert die Zahl, die sie auf der oberen und unteren Skala berührt. 

Die geneigten Linien stellen die Faktoren von 3 bis 23 dar und werden an den Segmenten des Winkelmessers abgelesen. 

Diejenigen vertikalen Linien, die durch Vielfache von 5 verlaufen stellen Faktor 5 dar.

Die geometrischen Figuren symbolisieren Faktoren, die in der Legende auf der rechten Seite der Karte angegeben sind. 

Punkte markieren die Primzahlen von 1 bis 3199 dar und ersetzen eine Tabelle der Primzahlen. 

Kreuzungen horizontaler und vertikaler Linien: Jede Kreuzung einer horizontalen Linie mit einer vertikalen Linie entspricht einer Zahl, die der Summe der durch die horizontale Linie angegebenen Hunderte und der durch die vertikale Linie angegebenen Zehner und Einheiten entspricht. Der Schnittpunkt ist daher die Zahl, die wir in Primfaktoren umwandeln möchten. Die herkömmlichen Linien und Zeichen, die exakt über die Kreuzung verlaufen (und nur diese), sind die Faktoren. 

Beispiel:

....... 25 27 29 31

300              |
400  ----------|-------
500              |

 

Der Kreuzungspunkt dieser beiden Linien repräsentiert die zu zerlegende Zahl 429.

GEBRAUCHSANWEISUNG

1 - Lassen Sie die Zahl 523 in Faktoren zerlegen: Bewegen Sie den Läufer nach links und bewegen Sie den Winkelmesser nach oben oder unten, bis der Pfeil mit der Linie übereinstimmt, die aus der 500 herauskommt. Lassen Sie nun den Winkelmesser in seiner Position. In dieser Zeile bewegen wir den Läufer nach rechts, bis die obere und untere Hilfslinie die Zeile berühren, die aus Nummer 23 auf der oberen oder unteren Skala hervorgeht. In der Mitte des Winkelmessers sehen wir den Schnittpunkt der beiden Linien, die aus der 500 und die aus der 23 hervorgeht. Diese Kreuzung ist daher dieT 523. Auf dieser Kreuzung befindet sich ein Punkt. Die Legende rechts neben dem Nomogramm  zeigt an, dass der schwarze Punkt bedeutet, dass 523 eine Primzahl ist. 

2 - Lassen Sie die Zahl 519 in Faktoren zerlegen: Suchen Sie links nach 500, stellen Sie den Pfeil des Winkelmessers daneben und bewegen Sie den Läufer, bis die Hilfslinie die Zahl 19 berührt. An der Kreuzung, die 519 darstellt, sehen wir eine geneigte Linie, die mit der auf dem Winkelmesser markierten Nummer 3 übereinstimmt. Nehmen wir an, 519 ist durch 3 teilbar und hat keine anderen Faktoren als 47. Andernfalls würde der Regulus sie anzeigen. Hinweis - Die Faktoren einer Zahl sind die Linien und herkömmlichen Zeichen, die der Kreuzung überlagert sind, und nur diese. Die Linien und benachbarten Zeichen wirken sich nicht auf die Zahl aus, die wir aufteilen. 

3 - Lassen Sie uns die Nummer 589 aufschlüsseln: Mit dem Pfeil des Winkelmessers, den wir nach links zurückbewegt haben, berühren wir die 500, und mit der Hilfslinie laufen wir, um die Nummer 89 zu berühren, ohne den Winkelmesser von der horizontale Linie von 500 wegzubewegen. Am Schnittpunkt der Linien in der Mitte des Winkelmessers lesen wir die Faktoren von 589. Tatsächlich gibt es es ist eine geneigte Linie, die mit der Winkellinien der roten 19  zusammenfällt und im Schnittpunkt ein Quadrat. Bedeutung: 589 ist durch 19 und 31 teilbar und hat keine anderen Faktoren bis 47.

Hinweis: Wir haben es in diesem Fall vermieden zu beweisen, ob die Zahl 589 durch 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 teilbar ist oder nicht, wodurch eine Reihe völlig nutzloser Unterteilungen eingespart werden

4 - Lassen Sie die Zahl 1763 aufschlüsseln: Wir nehmen den Läufer ab, wenden die Karte und setzen den Läufer wieder ein. Der Pfeil muss auf 1700 und die Einstellinie 63 gebracht werden, die auf der unteren Skala besser lesbar ist, da die obere vom Winkelmesser abgedeckt bleibt. Am Schnittpunkt der Linien 1700 und 63 finden wir ein Dreieck und ein Rechteck. Bedeutung: 1763 ist teilbar durch 41 und 43. Hinweis - In diesem Fall der Zerlegung haben wir es vermieden, die gemeinsamen Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 11 zu untersuchen, und wir haben es vermieden, auf der Suche nach dem Primfaktor durch Versuch und Irrtum (kontraproduktive Anwendungsarbeit) vorzugehen, wodurch wir 9 vollständige Teilungen erspart haben was notwendig gewesen wäre, bevor wir wussten, dass 1763 durch 41 teilbar ist;. Tatsächlich hätten wir 1763 zuerst durch 7, dann durch 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 teilen müssen, nur um in dieser letzten Division den Rest 0 zu erhalten, der für die Identifizierung der Primfaktoren erforderlich ist. 

5 - Lassen Sie eine gerade Zahl aufteilen: Teilen Sie durch 2, bis Sie eine ungerade Zahl finden, die dann mit dem Lineal aufgeschlüsselt wird. 

ABLESEN DER TEILBARKEITSKARTE

Der Pfeil zeigt auf 1500. Die oberste Hilfslinie berührt 67. Daher ist die zu zerlegende Zahl 1567. In der Mitte des Winkelmessers sehen wir einen schwarzen Punkt. Bedeutung: 1567 ist eine Primzahl.
 

Der Pfeil zeigt auf die 600. Die oberste Hilfslinie berührt 45. Die zu zerlegende Zahl ist 645. In der Mitte des Winkelmessers sehen wir zwei Durchmesser und ein Rechteck. Die Durchmesser berühren die 3 und 5 des Winkelmessers, das Rechteck bedeutet 43. Bedeutung: 645 ist durch 3, 5 und 43 teilbar.

Der Pfeil zeigt auf 700. Die oberste Hilfslinie berührt 41. Die zu zerlegende Zahl ist 741. In der Mitte des Winkelmessers sehen wir drei Durchmesser, die 3, 13 und 19 berühren. Bedeutung: 741 ist teilbar durch 3, durch 13 und 19.

 

WICHTIGER HINWEIS Die Teilbarkeitskarte ist durch reguläre Patente in Italien und in der Welt geschützt. Fälscher und Händler, die diese gültigen Patente missachten, werden nach dem Gesetz bestraft (Art. 88 RD 29. Juni 1939). 

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