Der englische Proportionalzirkel (Sector)

(Übersetzung aus: J. F. Heather: A Treatise on Mathematical Instruments, erschienen 1870 nach der englischen Fassung auf der "Slide Rule Homepage" von Ron Manley. Formatierung, Zwischenüberschriften und Anmerkungen in [] durch den Übersetzer.

Der Proportionalzirkel kann als wirklich universelles Messinstrument bezeichnet werden. Mit seiner Hilfe können alle Fragen der Proportion gelöst werden; Strecken können mit ihm in jede Anzahl gleicher oder auch ungleicher Teile geteilt werden, wie man es wünscht; die Winkelfunktionen, also Sinus, Tangens etc. können konstruiert oder gemessen werden und zwar mit jedem beliebigen Radius; Pläne und Konstruktionszeichnungen können verkleinert oder vergrößert werden in allen gewünschten Proportionen; kurz, jede Operation in geometrischen Zeichnungen kann mit Hilfe dieses Instruments und eines Stechzirkels durchgeführt werden.

Der englische Name „Sector“ ist abgeleitet von der 10. Definition im Dritten Buch des Euklid, in der dieser Name einer Figur gegeben wird, die durch zwei Radien eines Kreises und dem Kreisbogen zwischen ihnen gebildet wird [im Deutschen auch Kreisausschnitt genannt]. Das Instrument besteht aus zwei gleichen Linealen, die Schenkel genannt werden und die zwei Radien darstellen; sie sind beweglich um das Zentrum eines Gelenks, das den Mittelpunkt des Kreises darstellt. Die Schenkel können also beliebig geöffnet werden, um einen Winkel zu formen, so weit, bis ihre Ränder eine gerade Strecke bilden.

Sektoriale Linienpaare

 

Die sektorialen Linien auf dem Proportionalzirkel gehen in Paaren vom Zentrum aus, eine Linie von jedem Paar auf je einem Schenkel. Es sind auf der Vorderseite des Instruments

• die „Line of Lines“ (L), ein Linienpaar mit linearer Teilung von 0 bis 10 in Zehntelschritten;

• weiterhin die „Line of Chords“ (C), die Sehnenlinie, mit Gradskalen von 0 bis 60 versehen;

• die „Line of Secants“ (S) eine Sekansskala, die erst in Höhe der 2,5 auf der L-Skala beginnt und mit einer Gradskala bis 75 versehen ist;

• die „Line of Polygons“ (POL).

Auf der Rückseite sind weitere Linien eingezeichnet:

• ein Paar von Sinuslinien, bezeichnet mit S,

• ein Paar Tangenslinien für Winkelmaße bis 45°, bezeichnet mit T,

• und eine zweite Tangenslinie (kleines T) mit geringerem Radius,
  Sie beginnt erst ca. 5 cm rechts vom Zentrum und reicht von 45° bis 75°.

Jedes Paar der sektorialen Linien, außer der Linie der Polygone, sollte so eingeteilt sein, dass sich zwischen den Linien eines Paares der gleiche Winkel im Zentrum ergibt und dass Strecken vom Zentrum zu den einander entsprechenden Punkten eines beliebigen Linienpaares zusammen mit der diagonal verlaufenden Strecke zwischen diesen Punkten ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Auf vielen Instrumenten allerdings bilden die Sekanslinien und die Tangenslinien von 45° bis 75° am Zentrum gleiche Winkel, aber ungleiche verglichen mit dem Winkel, der von allen anderen Linienpaaren gebildet wird.

Linien, die über beide Schenkel des Zirkels gehen

Proportionalzirkel werden in verschiedenen Größen hergestellt, und ihre nominale Länge ist normalerweise bestimmt von der Länge ihrer Schenkel in geschlossenem Zustand. Also bildet ein Proportionalzirkel von 6 Zoll, wie er in einem der gebräuchlichen Taschenetuis von Instrumenten enthalten ist in völlig geöffnetem Zustand ein Lineal von 12 Zoll Länge. Dieser Umstand wird ausgenutzt, indem man die Ränder des Instruments, die nicht von den Sektorlinien ausgefüllt sind, mit weiteren Linien ausgefüllt hat, die auf eine größere Länge angelegt sind, als das einfache Instrument von 6 Zolles eigentlich erlaubt.

Von diesen zusätzlichen Linien sind die gebräuchlichsten:

• die Logarithmen, der Sinus und der Tangens, wie sie in Teil II beschrieben sind,

• die oben erwähnte Skala von 12 Zoll, in der jeder Zoll in 10 gleiche Teile aufgeteilt ist, und

• eine Skala von einem Fuß Länge, die in zehn gleiche Messeinheiten zerfällt, von denen jede wiederum in zehn gleiche Teile aufgeteilt ist, so dass das ganze Maß also in 100 gleiche Teile zerlegt ist. Diese Skala wird als Dezimalskala bezeichnet. Sie ist an der Schmalseite  des Proportionalzirkels, vor der 12-Zoll-Skala, angebracht.

 Definitionen

Die Lösung der Aufgaben auf dem Proportionalzirkel werden als einfach bezeichnet, wenn die Arbeit auf demselben Linienpaar begonnen und beendet wird; und als zusammengesetzt, wenn die Rechenoperation auf einem Linienpaar beginnt und auf einem anderen beendet wird.

In einer zusammengesetzten Lösung müssen die beiden benutzten Linienpaare am Zentrum gleiche Winkel bilden, und folgerichtig können die Linien der Sekanten und Tangenten über 45°, wie oben in dem Sonderfall beschrieben, nicht in Zusammenhang mit den anderen Linien des Proportionalzirkels benutzt werden. (Da jedoch Sekans : Radius = Radius : Kosinus und Tangens : Radius = Radius : Kotangens gilt und folglich die Sinuslinie mit den anderen Linien anstelle der Sekanslinie benutzt werden kann und die Tangentenlinie unter 45° anstelle der Tangentenlinie über 45°, werden die Komplementwerte der Winkel, die von diesen Linien abgenommen werden, in jedem der beiden Fälle statt der Winkel selbst genommen. Siehe Weiteres dazu später.)

Ein Maß, das an irgendeiner Linie abgenommen wird, die im Zentrum beginnt, wird lateraler Abstand genannt; ein Maß, das von irgendeinem Punkt auf einer Linie zu dem entsprechenden Punkt auf der Linie der gleichen Art auf dem anderen Schenkel abgegriffen wird, heißt transversaler oder paralleler Abstand.

Die sektorialen Skalen sind jeweils als Dreifachlinien ausgeführt. Die Linie, auf dir die Schenkel des Stechzirkels eingestellt werden müssen, ist jeweils die innerste davon, denn das ist die einzige der drei Linien, die zum Zentrum führt und deshalb die eigentliche sektoriale Linie der Skala darstellt.

Zum Gebrauch der sektorialen Linien:

• Im Falle einer einfachen Aufgabe: Die Strecken AB und AC sollen ein Paar sektoriale Linien darstellen und BC und DE zwei beliebige transversale Entfernungen, die von diesem Linenpaar abgenommen werden können. Aufgrund der Konstruktion des Instruments sind zunächst |AB| = |AC| und |AD| = |AE|, so dass die Proportionsgleichung |AB| : |AC| = |AD| : |AE| gilt. Die Dreiecke ABC und ADE haben den Winkel bei A gemeinsam, und die Seiten um diesen gemeinsamen Winkel sind proportional, die Dreiecke sind nach Euklid also ähnlich. Deshalb gilt auch die Proportion |AB| : |BC| = |AD| : |DE|.

• Im Falle einer zusammengesetzten Aufgabe sind die Winkel bei A zwar nicht gemeinsam, aber gleich groß, und die Überlegung ist in allen anderen Beziehungen genau die selbe.

Anwendungen für die „Line of Lines“ (L)

Zu drei gegebenen Linien soll eine vierte proportionale gefunden werden.

Messen Sie vom Zentrum aus eine laterale Entfernung |AE| ab, die dem ersten Term gleich ist, und öffnen Sie den Proportionalzirkel so weit, dass die transversale Entfernung |ED| an der Markierung, die so gefunden wird, dem zweiten Term gleich ist. Suchen Sie jetzt den Punkt C, dessen laterale Entfernung |AC| vom Zentrum dem dritten Term gleich ist, und die parallele transversale Entfernung |CB| an diesem Punkt wird dem vierten geforderten Term entsprechen.

Wenn die Schenkel des Proportionalzirkels nicht weit genug geöffnet werden können, um die radiale Entfernung des zweiten Terms zu einer parallelen Entfernung an der Einteilung  entsprechend dem ersten Term zu machen, nehmen Sie einen beliebigen Teil des zweiten Terms, der praktischerweise zu einer solchen parallelen Entfernung gemacht werden kann, und die parallele Entfernung beim dritten Term wird dann derselbe beliebige Teil der vierten geforderten Proportionale sein.

Eine dritte Proportionale zu zwei gegebenen Linien wird gefunden, indem man eine dritte Linie nimmt, die der zweiten gleich ist und die vierte Proportionale zu den drei Linien findet.

Beispiel: Zu den Zahlen 2,5 und 10 ist eine vierte Proportionale zu finden. Öffnen Sie den Proportionalzirkel so weit, bis 5 die transversale Entfernung bei 2 wird, dann wird bei 10 die transversale Entfernung 25 betragen; das ist also die vierte gesuchte Proportionale.

Eine gerade Strecke soll in eine beliebige Anzahl gleicher Teile geteilt werden.

Wenn die Zahl der Teile eine Potenz von 2 ist, wird die Operation am besten durch wiederholte Zweiteilung durchgeführt. Also sagen wir, es wird gefordert, die Strecke AB in sechzehn gleiche Teile aufzuteilen.

Die Strecke AB soll die transversale Entfernung zwischen 10 und 10 auf der "Line of Lines" sein. Dann nehmen Sie die transversale Entfernung von 5 und 5, setzen sie in A oder B an und landen auf der 8. (Größere Genauigkeit erreicht man, wenn man von beiden Enden der Strecke anfängt, um dann, im Falle dass die beiden Punkte, die so gefunden werden, nicht ganz genau in einen zusammenfallen, den Mittelpunkt zwischen ihnen zu nehmen, so genau, wie das Auge es eben abschätzen kann, um den richtigen Punkt der Zweiteilung zu finden.) AB wird in zwei gleiche Teile geteilt bei der Markierung 8.

Machen Sie aus A8 die transversale Entfernung bei 10 und setzen Sie dann die transversale Entfernung der 5 bei A oder 8 an. Sie landen auf 4, und von B oder 8 aus landen Sie auf auf 12. Das teilt die Strecke in vier gleiche Teile zwischen den  Markierungen A, 4, 8, 12 und B.

Machen Sie aus der Strecke A4 die transversale Entfernung bei 10, und die transversale Entfernung bei 5 wird wiederum jeden der Teile, von denen Sie zuletzt ausgegangen waren, in zwei Teile schneiden und also die ganze Strecke in acht gleiche Teile zwischen den Markierungen A, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 und B einteilen. Jedes von diesen Stücken kann wieder in zwei Teile geteilt werden, indem man die transversale Entfernung bei 2 ½ oder 2,5 ansetzt, das heißt in der Mitte zwischen 2 und 3 auf der Linie der Linien, und so wird die Strecke wie vorgeschrieben aufgeteilt.

Wenn die Aufteilungen zu klein werden, um mit der gerade erklärten Methode noch bequem durchgeführt werden zu können,  kann die Operation dennoch bis zu jedem gewünschten Ziel fortgesetzt werden, indem man das Ausmaß einer beliebigen Zahl der Einteilungen nimmt, die man schon erzielt hat, als die transversale Entfernung zwischen 10 und 10 und dann die Hälfte dieser Größe oder bei der transversalen Entfernung bei 5, von den verschiedenen Einteilungen, die man schon durchgeführt hat. So wird man also in dem vorangegangenen Beispiel, indem man die Größe von drei der Einteilungen oder auch fünf oder sieben zu einer transversalen Entfernung bei 10 macht, die transversale Entfernung bei 5, ausgehend von den verschiedenen Einteilungen, die man schon gemacht hat, die Strecke AB in 32 gleiche Teile teilen können.

Wenn die Zahl der geforderten Teile keine Potenz von 2 ist, können die Operationen nicht alle durch Zweiteilungen vorgenommen werden, aber durch eine verständige Auswahl der Teile, in die die Strecke zuerst geteilt wird, können dennoch viele der nachfolgenden Operationen als Zweiteilungen durchgeführt werden. Beispiel: Es ist gefordert, die Strecke AB in sieben gleiche Teile aufzuteilen.

Machen Sie aus der ganzen Strecke AB eine transversale Entfernung zwischen 7 und 7 auf der "Line of Lines", dann setzen Sie die transversale Entfernung zwischen 4 und 4 an und suchen Sie damit von A aus die 4 und von B aus die 3.

Machen Sie aus dem Anstand von A nach 4 eine transversale Entfernung bei 10; dann teilt die transversale Entfernung bei 5 die Abstände A4 und 3D in den Punkten 2 und 5 in zwei Teile, dann setzen Sie dieselbe Strecke in 3 an, das ergibt 1, und in 4, das ergibt 6; so wird also die Strecke AB in sieben gleiche Teile aufgeteilt, wie gefordert.

Der Proportionalzirkel soll so geöffnet werden, dass die "Line of Lines" auf jede erforderliche Skala von gleichen Teilen antwortet.

Stellen Sie den Stechzirkel auf 1 Zoll ein und öffnen Sie den Proportionalzirkel so, dass diese Strecke eine transversale Entfernung in der Einteilung wird, die die Anzahl der Teile in einem Zoll in der gewünschten Skala angibt. Wenn es keine ganzzahlige Zahl von Teilen in einem Zoll gibt, nimmt man besser eine Anzahl von Zoll, die eine ganzzahlige Anzahl von Teilen enthält. Machen Sie nun die Strecke dieser mehreren Zoll, wenn sie nicht zu groß ist, zur transversalen Entfernung an der Markierung, die die Anzahl der Teile der gewünschten Skale in dieser Strecke angibt.

Nehmen wir an, der Proportionalzirkel soll an eine Skala von einem Zoll mit Viertelteilung angepasst werden. Nehmen Sie dazu einen Zoll als transversale Entfernung zwischen 4 und 4; dann werden die transversalen Entfernungen der 1, 2 und 3 die Untereinteilungen darstellen, die durch diese Einteilungen angegeben sind. So stellt die transversale Entfernung zwischen 3 und 3 drei Viertel dar, die transversale Entfernung zwischen 4,7 oder der siebten Hauptunterteilung nach der großen Einteilung 4, wird 4 Viertel und 7 Vierzigstel darstellen usw.

Eine Skala von Fuß und Zoll soll auf solche Art konstruiert werden, dass eine Strecke von drei Zoll in der Zeichnung für zwanzig Zoll in der Wirklichkeit steht.

Machen Sie aus 3 Zoll die transversale Entfernung zwischen 10 und 10, dann wird die transversale Entfernung zwischen 8 und 8 die maßstäbliche Verkleinerung von 16 Zoll darstellen.

Setzen Sie diese Strecke von A nach B an, teilen Sie sie durch fortgesetzte Zweiteilung in 16 gleiche Teile und setzen Sie dauerhafte Striche, um die ersten 12 dieser Einteilungen zu markieren, die jetzt Zoll bedeuten sollen.

Setzen Sie die Zahl 1 an den 12. Strich und setzen Sie hier wieder die Strecke der 12 ganzen Teile an, von 1 nach 2, von 2 nach 3 usw. um die Fuß darzustellen.

Als Beispiel für den Gebrauch der "Line of Lines" bei der Verkleinerung von Zeichnungen soll hier die Aufgabe gestellt werden, die linearen Dimensionen einer Zeichnung in der Proportion 8 : 5 zu verkleinern.

Stellen Sie den Stechzirkel auf die Entfernung zwischen zwei Punkten der Zeichnung ein und machen Sie daraus die transversale Entfernung zwischen 8 und 8, dann wird die transversale Entfernung zwischen 5 und 5 die geforderte Entfernung zwischen den zwei entsprechenden Punkten der Zeichnung haben.

Nachdem man diese zwei Punkte festgelegt hat, kann man die Entfernung zwischen einem von ihnen und einem dritten Punkt in der Zeichnung zu einer transversalen Entfernung bei 8 machen, und mit der transversalen Entfernung bei 5, von diesem Punkt als Zentrum aus gesehen, einen kleinen Bogen beschreiben.

Wiederholen Sie diese Operation mit dem anderen Punkt, und der Schnittpunkt der beiden kleinen Bögen wird Ihnen die gewünschte Position des dritten Punktes in der Zeichnung angeben. Auf die gleiche Art und Weise können alle anderen Punkte der verkleinerten Zeichnung festgelegt werden, jeder aus den zwei Punkten, die zu Anfang festgelegt wurden.

 Die „Line of Chords“ (C)

["Line of Chords" bedeutet wörtlich "Sehnenlinie". Dieses sektoriale Linienpaar ist wie die Linien der Rückseite des Proportionalzirkels mit einer Gradskala versehen.]

Die doppelten sektorialen Gradskalen (C, S, T) auf dem Proportionalzirkel sind universeller zu gebrauchen als die einzelnen Skalen, die am Rand der Rückseite aufgebracht sind, denn bei der Doppelskala kann der Radius, mit dem der Bogen zu beschreiben ist, von beliebiger Länge sein, angefangen mit der transversalen Entfernung zwischen 60 und 60, wenn die Schenkel geschlossen sind, bis hin zu derjenigen transversalen Entfernung zwischen 60 und 60, wenn die Schenkel so weit geöffnet sind, wie das Instrument es erlaubt. Bei den Sehnen auf der einfachen Skala dagegen muss der zu beschreibende Bogen immer den gleichen Radius haben.

Ein Winkel DAC mit einer gegebenen Gradzahl, sagen wir 46°, soll gezeichnet werden.

  

Fall 1: Wenn der Winkel weniger als 60° groß ist, machen Sie die transversale Entfernung zwischen 60 und 60 gleich dem  Radius des Kreises, und mit dieser Öffnung beschreiben Sie den Bogen BC. Nehmen Sie dann die transversale Entfernung der gegebenen 46° und legen Sie diese Entfernung auf den Bogen vom Punkt B zum Punkt C. Vom Zentrum A des Bogens zeichnen Sie zwei Linien AC und AB. Diese zwei Linien enthalten den geforderten Winkel.

Fall 2: Wenn der Winkel mehr als 60° groß ist, muss man anders vorgehen. Nehmen wir beispielsweise an, dass wir einen Winkel von 138° zeichnen wollen. Beschreiben Sie dann den Bogen DCB und machen Sie die transversale Entfernung zwischen 60 und 60 dem Radius gleich, wie vorher beschrieben. Nehmen Sie nun die transversale Entfernung von ½ oder 1/3 etc. der gegebenen Gradzahl und legen Sie diese Entfernung zweimal oder dreimal auf den Bogen, von B nach a, von a nach b, von b nach D. Ziehen Sie zwei Linien, die B und A und A und D verbinden, und sie werden den geforderten Winkel bilden.

Wenn der gewünschte Winkel weniger als 5° enthält, angenommen 3 ½°, dann ist es besser, folgendermaßen zu verfahren. Mit dem gegebenen Radius vom Zentrum A aus beschreiben Sie den Bogen DG, und von demselben Punkt D aus legen Sie in derselben Richtung die Sehne von 60°, was den Punkt G ergibt, und von demselben Punkt D legen Sie in der gleichen Richtung dann die Sehne von 56 ½° an (= 60° - 3 ½°), das würde den Punkt E ergeben. Dann zeichnen Sie durch diese zwei Punkte E und G Linien zum Punkt A, und diese werden den geforderten Winkel von 3 ½° abbilden.

Von dem, was hier gesagt worden ist über das Zeichnen eines Winkels, der eine bestimmte Gradzahl haben soll, kann leicht ersehen werden, wie man das Gradmaß eines Winkels finden kann, der schon gezeichnet ist.

Die "Line of Polygons" (POL)

Die Linie der Vielecke ist vor allem nützlich für die fertige Einteilung der Peripherie eines Kreises in jede Anzahl gleicher Teile von 4 bis 12, das heißt, als ein Mittel, um regelmäßige Vielecke mit einer beliebigen Anzahl von Seiten zwischen 4 und 12 in einen gegebenen Kreis einzuzeichnen. Um das zu tun, stellen Sie den Radius eines gegebenen Kreises (der bekanntermaßen gleich einer Seite eines eingezeichneten Sechsecks ist) als die transversale Entfernung zwischen 6 und 6 auf der Linie der Vielecke ein. Dann wird die transversale Entfernung zwischen 4 und 4 die Seite eines Quadrates sein, die transversale Entfernung zwischen 5 und 5 die Seite eines Fünfecks, zwischen 7 und 7 die Seite eines Siebenecks, zwischen 8 und 8 die Seite eines Achtecks, zwischen 9 und 9 die Seite eines Neunecks usw. Das alles ist so einfach, dass sich eine  Beispielkonstruktion erübrigt.

Wenn verlangt ist, ein Vieleck mit einer gegebenen Seitenlänge zu zeichnen, dann nehmen Sie die Länge der gegebenen Linie als transversale Entfernung zwischen den Punkten auf der Linie der Vielecke und entsprechend der Anzahl der Seiten, die das Vieleck haben soll; für ein Fünfeck also zwischen 5 und 5, für ein Achteck zwischen 8 und 8 etc. Dann wird die transversale Entfernung zwischen 6 und 6 der Radius eines Kreises sein, dessen Peripherie durch die gegebene Linie in die geforderte Anzahl von Seiten eingeteilt werden kann.

Die Linie der Vielecke kann ebenso dazu benutzt werden, auf einer gegebenen Linie ein gleichschenkliges Dreieck zu beschreiben, dessen Basiswinkel an der Basis doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze sind. Dafür nimmt man die gegebene Strecke zwischen die Stechzirkelschenkel, öffnet den Proportionalzirkel so weit, bis diese Strecke die transversale Entfernung zwischen 10 und 10 ist, und dann ist die transversale Entfernung zwischen 6 und 6 die Länge jeder der zwei gleichen Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.

Alle regelmäßigen Vielecke, deren Seitenzahl 360 (die Anzahl der Grade, in die man alle Kreise einteilen kann) ohne Rest teilt, können auch mithilfe der C-Skalen auf die Peripherie eines Kreises abgebildet werden. Nehmen Sie dazu den Radius des Kreises zwischen die Schenkel des Stechzirkels und öffnen Sie den Proportionalzirkel so, dass diese Strecke die transversale Entfernung zwischen 60 und 60 auf der "Line of Chords" wird. Wenn Sie dann 360 durch die geforderte Anzahl von Seiten geteilt haben, wird die transversale Entfernung zwischen den Zahlen des Quotienten die Seite des Vielecks betragen, das gefordert ist. Für ein Achteck nehmen Sie also die Entfernung zwischen 45 und 45, für eine Vieleck von 36 Seiten die Entfernung zwischen 10 und 10 usw.

Linien für Sinus (S), Tangens (T) und Sekans

[Der Sekans ist eine wenig gebräuchliche Winkelfunktion, die das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete eines Winkels angibt. Er stellt also den Kehrwert des Kosinus dar. Damit lässt sich beispielsweise aus der Länge einer Strecke auf einer Karte und ihrer in Grad gegebenen Steigung die tatsächliche Länge der Strecke bestimmen.]

Gegeben ist der Radius eines Kreises (angenommen 2 Zoll), gesucht der Sinus und Tangens von 28° 30’ entsprechend diesem Radius.

Öffnen Sie zur Lösung dieser Aufgabe den Proportionalzirkel so, dass die transversale Entfernung zwischen 90 und 90 auf der Sinusskala oder zwischen 45 und 45 auf der Tangensskala mit dem gegebenen Radius gleich ist, also 2 Zoll beträgt. Dann wird die transversale Entfernung von 28° 30’, die von der Sinusskala abgenommen wird, die Länge des Sinus zu dem gegebenen Radius sein, oder, wenn Sie es auf der Tangensskala ablesen, wird es die Länge des Tangens zu dem gegebenen Radius sein.

Wenn aber der Sekans von 28° 30’ gefordert ist?

Dann machen Sie aus dem gegebenen Radius von 2 Zoll eine transversale Entfernung zwischen 0 und 0 am Anfang der Sekanslinie [etwa neben der 2,5 auf der "Line of Lines"], und dann greifen Sie die transversale Entfernung der gewünschten Gradzahl, hier also 28° 30’ ab.

Ein Tangens, der größer als 45° ist (angenommen 60°) wird folgendermaßen gefunden:

Machen Sie aus dem gegebenen Radius, hier also 2 Zoll, die transversale Entfernung zwischen 45 und 45 am Anfang der kürzeren Tangensskala [sie befindet sich zwischen der Sinusskala und der normalen Tangensskala und ist beschriftet mit einem kleineren T]. Dann kann der Tangens der geforderten Gradzahl bei 60 von der Skala abgegriffen werden

Der Tangens von 78° zu einem Radius von 2 Zoll soll gefunden werden (andere Methode):

Der Tangens zu einem gegebenen Radius von jeder Gradzahl, die größer als 45° ist, kann auch von der Linie der niedrigen Tangenswerte abgelesen werden, wenn der Radius zu einer transversalen Entfernung entsprechend dem Komplement der Gradzahlen auf dieser Linie gemacht werden kann.

Machen Sie 2 Zoll zur transversalen Entfernung bei 12 auf der Linie der unteren Tangenten, dann ist die transversale Entfernung von 45 der Tangens von 78°.

In gleicher Weise kann der Sekans jeder beliebigen Gradzahl von der Sinuslinie abgelesen werden, wenn der Radius des Kreises zu einer transversalen Entfernung zum Komplement dieser Grandzahl auf dieser Linie gemacht werden kann. Also, wenn man 2 Zoll zu einer transversalen Entfernung zu dem Sinus von 12° macht, wird die transversale Entfernung zwischen 90 und 90 der Sekans von 78° sein.

Es seien etwa mit Hilfe der Sinus- und unteren Tangenslinien die Gradzahlen zu einer gegebenen Strecke zu finden, die größer ist als ein gegebener Radius, der die Länge einer Tangente oder Sekante zu diesem Radius ausdrückt. Um den  Tangens zu finden, machen Sie die gegebene Strecke zu einer transversalen Entfernung bei 45 auf der Linie der unteren Tangenswerte, dann nehmen Sie das Maß des gegebenen Radius und legen es bei den unteren Tangenswerten an, und das Komplement der Gradzahl, an der es eine transversale Entfernung wird, entspricht dann der gewünschten Gradzahl. Für eine Sekante machen Sie aus der gegebenen Strecke eine transversale Entfernung bei 90 auf der Sinuslinie, dann wird die Ausdehnung des Radius eine transversale Entfernung bei dem Komplement der geforderten Gradzahl sein.

Es sind die Länge des Sinus, Tangens oder des Sekans von einem Gradmaß gegeben; zu finden ist die Länge des Radius, der zu diesem Sinus, Tangens oder diesem Sekans gehört.

Machen Sie aus der gegebenen Länge eine transversale Entfernung zu der entsprechenden Gradzahl auf der jeweiligen Skala.

Wenn es ein Sinus ist... Wenn es ein Tangens unter 45° ist... Wenn es ein Tangens über 45° ist... Wenn es ein Sekans ist...

...wird die transversale Entfernung zwischen...

...90 und 90 auf den Sinusskalen... ...45 und 45 auf den unteren Tangensskalen... ...45 und 45 auf den oberen Tangensskalen... ...0 und 0 auf den Sekansskalen...

...der gesuchte Radius sein.

Die Länge des Sinus versus zu einer gegebenen Gradzahl und einem gegebenen Radius ist zu bestimmen.

[Der Sinus versus ist eine sehr ungebräuchliche Winkelfunktion, die dem Wert 1 - cos entspricht]

1. Machen Sie die transversale Entfernung zwischen 90 und 90 auf der Sinuslinie gleich mit dem gegebenen Radius.

2. Nehmen Sie die transversale Entfernung des Sinus des Komplementwinkels der gegebenen Gradzahl.

3. Wenn die gegebene Gradzahl weniger als 90° beträgt, subtrahieren Sie die Entfernung, die Sie gerade abgemessen haben (also den Sinus des Komplementwinkels) von dem Radius, und der Rest ist der gesuchte Sinus versus. Wenn aber die gegebene Gradzahl mehr als 90° beträgt, addieren Sie das Komplement des Sinus zu dem Radius, und die Summe ist der Sinus versus.

Wie man die Schenkel des Proportionalzirkels öffnet, so dass die entsprechenden doppelten Skalen der Linien, Sehnen, Sinus und Tangens alle einen rechten Winkel bilden.

Auf der Linie der Linien machen Sie eine laterale Entfernung von 10 und eine transversale Entfernung zwischen 8 auf einem Schenkel und 6 auf dem anderen. Auf der Linie der Sinuswerte machen Sie eine laterale Entfernung von 90 und eine transversale Entfernung zwischen 45 und 45 oder zwischen 40 und 50 oder zwischen 30 und 60 oder von jeder anderen Gradzahl und ihrem Komplement. Auf der Linie der Sinuswerte machen Sie eine laterale Entfernung von 45 zu einer transversalen Entfernung zwischen 30 und 30.