Die Rechenscheibe von Röther

Ein Sammlerfundstück als Forschungsauftrag

 

Anfang 2019 wurde mir bei der Recherche nach einem vergriffenen Buch mit völlig anderer Thematik nebenbei und ungefragt eine Rechenscheibe gezeigt, offenbar in der Annahme, damit meine anderswo protokollierten Interessen zu treffen. Das tat die Scheibe auch - allerdings zunächst nicht durch ihre Zahlen und Skalen, sondern durch ihr vergilbtes Papier und ihre jugendstilmäßige Beschriftung. Das angebotene "Buch" bestand aus zwei stoffüberzogenen Hartpappedeckeln, einer dünnen drehbaren Skalenscheibe, einem Scheibchen aus Zelluloid und einer Reißzwecke. Den Namen Röther hatte ich noch nie gehört. Da der Preis  überschaubar war, konnte ich dem Angebot nicht lange widerstehen und bestellte das merkwürdige Objekt, und schon bevor die Lieferung eintraf, begann ich ein wenig zu forschen.

Im Jahre 1887 teilte der "Bezirksgeometer" Dietrich Röther in der "Zeitschrift für Vermessungswesen" mit, dass er bei seiner Arbeit seit vier Jahren eine selbst gefertigte Rechenscheibe verwende und lobte deren bessere Genauigkeit im Vergleich zu anderen (offenbar geraden) Rechenschiebern.

In den "Heften zur Bayerischen Geschichte und Kultur Band 26: Wie Bayern vermessen wurde" erfuhr ich: "Geometer" ist eine allgemeine Bezeichnung für die bei der topografischen Landesaufnahme und beim Kataster tätigen Vermesser. Bayern wurde seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts systematisch vermessen und ein Bezirksgeometer war in seinem Bezirk für die Fortführung der Katasterkarten zuständig. "Erfahrene Geometer der Landesvermessung konnten sich für dieses Amt bewerben. Das Einkommen aus dieser verantwortungsvollen Tätigkeit, für die nur ein geringes Grundgehalt bezahlt wurde, war so bescheiden, dass nur wenige sich dafür interessierten. Die Aufsicht über die Bezirksgeometer oblag Kreisgeometern, deren Entlohnung offensichtlich nicht viel besser war." (S.53) "Die Geometer, ab 1828 auch die Obergeometer, waren nicht fest angestellt, sondern wurden für die abgelieferte Arbeit bezahlt. Auch die Instrumente waren auf eigene Kosten zu beschaffen. ... Erst ab 1878 gab es auch fest angestellte Geometer. Trotzdem lebten die meisten weiterhin von Akkordarbeit und Tagegeld. Im Jahr 1884 wurde dann der lange geforderte Gebührentarif eingeführt. Doch trotz all dieser Verbesserungen blieben die Geometer in den Augen der bürgerlichen Handwerksmeister „arme Fretter“ und „Hungerleider“. (S.46) Aber offenbar andererseits auch selbstbewusste Fachleute:

In England waren logarithmische Rechengeräte seit der Erfindung der Gunterskala im Jahr 1620 kontinuierlich weiterentwickelt worden. Rechenschieber zählten bereits um 1800 zur Standardausstattung etwa von Konstrukteuren und Steuerbeamten. Auch in Frankreich gehörte der Umgang mit Rechenschiebern (Rechenstab System Mannheim 1850) und Rechenscheiben zu den Anforderungen der Beamtenausbildung. In den USA wurden Rechenschieber (Palmer's Computing Scale 1845) und bereits auch eine Rechenwalze (Thacher) nach 1850 immer populär er. In Deutschland dagegen waren trotz der Veröffentlichungen von Michael Scheffelt (1708) und Jacob Leupold (1729) logarithmische Rechengeräte auch gegen Ende des 19. Jahrhunderts noch kaum verbreitet. Dennert & Pape (Aristo) produzierte 1872 den ersten Rechenstab in größeren Serien, A.W. Faber folgte 1892. Röther, der sich 1883 seine erste Rechenscheibe entworfen hatte, war also damit in Deutschland eine Art Pionier.

Meine Scheibe ist eine merkwürdige Mischung aus Präzision und Bastelarbeit: Die eigentliche Skalenscheibe ist einerseits absolut filigran und und hochpräzise von Hand gezeichnet, andererseits aus Papier von Postkartenstärke hergestellt und wohl von Hand in Kreisform geschnitten. Man muss braucht die Fingernägel, um die Scheibe anheben und drehen zu können und in der Regel verstellt sich mit der Scheibe auch unbeabsichtigt der Läufer. Die doppelte Platte mit Vertiefung im Deckel für den Reißnagel ist eine originelle Design-Idee, aber das dünne durchsichtige Läuferscheibchen und die Reißzwecke als Achse wirken alles andere als robust.

Vermutlich hätten sich weder Dennert noch Faber mit Pappscheiben an die Öffentlichkeit getraut. Der Standard waren Geräte aus Buchsbaum, mit eingeritzten Skalen und eingeschlagenen Ziffern. Dieter von Jezierski zitiert in "Rechenschieber - eine Dokumentation" einen Hinweis des englischen Herstellers Rabone, dass die Gunterlinie, also eine Skala mit 540 Teilstrichen von einem erfahrenen Handwerker in 10 Minuten in Buchsbaum eingeritzt wurde. Doch auch anderswo rationalisierte man: Laut "Slide rules. Their history, Models and Makers" von Peter M. Hopp begannen Dennert & Pape im Jahr 1886, die Holzkörper ihrer Geräte mit weißem Zelluloid zu überziehen, um die Skalen besser lesbar (und gleichzeitig wahrscheinlich bedruckbar) zu machen. Das 1894 erschienene erste Modell von A.W. Faber ist noch aus Buchsbaum. Im Unterschied zu den Vorläufern sind die Skalen hier aber aufgedruckt.  Auch die 1878 bzw 1891 patentierten Rechenwalzen von Thacher und Fuller sind mit bedrucktem lackiertem Papier überzogen. Die Zifferntypen wirken genormt, aber auch leicht  unscharf und ausgefranzt.

Röthers Striche und Zahlen zeigen kleine typographische Unregelmäßigkeiten, ihre Umrisse sind aber auch unter der Lupe absolut scharf. Ich vermute, Röther hat die Scheibe im Großformat mit Tusche und Schriftschablonen auf einem Zeichenbrett erstellt und dann fotografisch reproduziert. Der Karton der Scheibe könnte gut Fotopapier sein. Auch sind kleine Serien und verschiedenen Größen mit fotografischer Reproduktion vermutlich leichter machbar als mit Drucktechnik. War das am Ende Röthers eigene Idee? Bestrebungen, den Rechenstab im deutschen Schulunterricht einzuführen, stießen damals auf Widerstand: sie seien zu teuer (Ramm-Ernst: Stahlgehirne S.34 Fußnote 69). Vielleicht verkaufte Röther ganz bewusst eine Rechenscheibe für Wenigverdiener. Die kleine Version kostete 1899 gerade einmal zwei Mark.

      

Animation

Röther hat seine Rechenscheibe selbst konzipiert, einige Skalen basieren auf eigenen Rechnungen. Wie mag er sie geteilt haben? Eine gerade logarithmische Skala kann man mithilfe von Zahlentafeln auf Millimeterpapier erstellen, um eine kreisförmige Skala zu teilen braucht man erst einmal ein Grundraster. Rechenschieberfabriken wie Stanley in England setzten damals schon Teilungsmaschinen ein. Eine Difference Engine à la Babbage mit angeschlossener Zeichenmaschine konnte Röther weder kaufen noch bauen. Hat er die Skalen Strich für Strich ausgemessen Oder hatte er eine Vorrichtung?

Eine gerade logarithmische Skala lässt sich am Zeichentisch teilen, indem man aus zwei Linealen über eine exakt gezeichneten Exponentialfunktion eine Führung konstruiert. Aber wie hält man das Spiel der Vorrichtung in Grenzen, um maximale Genauigkeit zu erreichen? Und wie rollt man anschließend an der geraden Skala einen Kreis ab? Angesichts der handwerklich eher anspruchslosen Scheibe, glaube ich nicht, dass er zum Vorrichtungsbau einen großen mechanischen Aufwand betrieben hat. Aber wie immer er vorgegangen sein mag, der Entwurf der Scheibe muss bei seinen Genauigkeitsansprüchen ein ziemlicher Aufwand gewesen sein. Den Bezirksgeometer Röther schreckte das offenbar nicht. Und es mangelte ihm nicht am Selbstbewusstsein, was das Ergebnis betraf, wie der oben abgedruckte Zeitschriftenausschnitt beweist.

Zwölf Jahre später, also 1899, bot Herr Röther dieses Instrument in zwei Varianten zum Kauf an, später wurden es vier. Hergestellt wurden: eine "Präzisionsrechenscheibe" d=22 cm, eine  "Scheibe für den Hausgebrauch" d=18 cm, eine "für den Feldgebrauch" d=11 cm und eine Variante "im Taschenformat für gelegentliche Berechnungen" d=7 cm. Die beiden letzten sind immerhin "durch besondere Vorrichtungen vor Verletzungen geschützt". Ob der Verweis auf den "Selbstverlag" bedeutet, dass Röther die Scheiben auch noch im Keller selbst hergestellt hat?  Später hat er im "Optischen Institut Biow" in Würzburg einen Vertriebspartner gefunden. und im Jahr 1900 steht in der Zeitschrift für Instrumentenkunde (S. 336) "Die kleine Röthersche Rechenscheibe erfreut sich bereits ziemlich großer Verbreitung." Zu dieser Zeit experimentierte Röther offenbar damit, eine logarithmische Skala von 1 bis 10 über mehrere Kreisumfänge zu verteilen, wie dies bei der Fowler Long Scale realisiert ist.

Wiederum einige Jahre später 1907 - Röther war imnmer noch Bezirksgeometer, aber inzwischen in Würzburg tätig - wurde in der "Zeitschrift für das Vermessungswesen" eine verbesserte Ausführung angekündigt. Das ist - in der Variante mit d=11 cm - die Rechenscheibe, die ich besitze. Eine Anleitung war bei meiner Scheibe nicht dabei. Im Jahre 1910 erschien aber in der Königlichen Universitätsdruckerei Stürtz zu Würzburg das 20-seitige Heft "Rechenscheibe: Beschreibung und Anleitung zum Gebrauch derselben", verfasst von Erfinder höchstselbst. Offenbar existiert davon noch ein Exemplar, das komplett mit Rechenscheibe im Lesesaal der Hamburger Universitätsbibliothek eingesehen werden kann. Uns muss hier als Gebrauchsanweisung die Besprechung des Geräts in der "Zeitschrift für Vermessungswesen" genügen:



Animation

Meine Version der Rechenscheibe sieht noch sehr stark nach Einzelanfertigung in Handarbeit aus. Googelt man Bilder von Röthers Rechenscheibe, so entdeckt man jedoch auch eine Ausführung, die mit der Prägung "D.R.G.M 297600" und "Reiss GmbH Liebenwerda" gekennzeichnet ist. So fand Röthers Eigenbau von 1883 wohl schließlich einen renommierten Verlag und in Fachkreisen weitere Verbreitung. Nach dem ersten Weltkrieg erschien 1921 eine 11-seitige "Anleitung für den Gebrauch der verbesserten Rötherschen Rechenscheibe" von Anton Bayr. Dazu gibt es als Begleitmaterial "1 Rechenscheibe in Mappe", vermutlich die Ausgabe von Reiss, Liebenwerda. In der Bibliothek des Deutschen Museums können Sie beides ausleihen. Was aus Röther wurde und warum er diese Anleitung nicht mehr selbst verfasst hat, bleibt offen.


Ich habe versucht, nachzuvollziehen, welche Vorteile das Arbeiten mit den "pythagoräischen" Spezialskalen bietet:



Animation

Zu berechnen sind die Höhe h und die Fläche A eines Kreisabschnitts (farbig unterlegt).
Benötigt werden hierfür der Radius r und die Länge der Sehne s.


Mit einem damals erhältlichen Rechenschieber mit Sinusskala (dem A.W. Faber 350) geht man so vor:

Man berechnet nacheinander 
- die halbe Sehnenlänge s
- den Sinus von α, das Verhältnis von 3,3 zu 4,9
- den Winkel α dazu
- den Kosinus von α (entspricht dem Sinus von 90-α)
- die Ankathete h'
- die Höhe h = r - h'


s'= 6,6 / 2 = 3,3 
sin(α)=3,3 / 4,9= 0,624
α =arcsin(0,674) = 42,3°  (Zunge umdrehen, Wert übertragen)
cos(42,3°) = sin(47,7°) = 0,741 (Subtraktion, Wert übertr.)
h'= 0,741* 4,9 = 3,63 (Zunge umdrehen, Wert übertragen)
h = 4,9-3,63 =1,27 (Subtraktion)

Mein Ergebnis war tatsächlich auf zwei Stellen korrekt. Allerdings brauchte ich für die Einstellungen eine Lupe.

Um die Fläche A des Kreisabschnitts zu bestimmen, nimmt man
- die Fläche des kompletten Kreisausschnitts A1= r²*π/360*2α
- die Fläche des Dreiecks zwischen Sehne M: A2=s/2*h'
- und subtrahiert A = A1 - A2

A1 = 4,9²*π/360*84,6 = 17,68 (2 Skalensprünge)
A2= 3,3 * 3,63 = 11,98 (Neueinstellung)
A = 17,68 - 11,98 = 5,70  (Subtraktion)

Das sind bei Wiederverwendung von notierten Zwischenergebnissen 10 Punktrechnungen, 2 Skalensprünge und 3 Subtraktionen.
Die Subtraktionen müssen im Kopf oder auf Papier erfolgen, da Rechenscheiben keine Strichrechnung erlauben.
Das Ergebnis weist eine Ungenauigkeit von 1,2% auf.

Der etwas andere Rechenweg mit Röthers Rechenscheibe lässt sich an der oben verlinkten Animation nachvollziehen.
Auf dem Original lassen sich die Einstellungen jedoch exakter vornehmen.

Man berechnet
- s' und teilt es durch r. Das Ergebnis entspricht sin(α).
- Diesen Wert sucht man auf der Spezialskala u auf
  und liest auf der Hauptskala den Quotienten q ab.
- Man quadriert sin(α) durch Multiplikation
- und erhält die Höhe des Segments mit h = sin(α)²/q*r

s'/r = 6,6 / 2 / 4,9 = 0,67

q = 1,74 (Skalensprung)
sin(α)² = 0,67 * 0,67 = 0,447 (Neueinstellung)
h = 0,447 / 1,74 * 4,9 = 1,257 (Neueinstellung)

Die Fläches A des Kreisabschnitts kann man so bestimmen:
- man sucht den oben notierten Zwischenwert sin(α)² auf der
  Skala segm λ auf, liest auf der Hauptskala den Faktor λ ab.
- und berechnet die Fläche mit A = h*s*λ


λ (0,447)=7,09 (Skalensprung)
A = 1,257 * 6,6 * 7,09 = 8,31 * 7,09 = 5,85 (Neueinstellung)

Insgesamt sind das sechs Punktrechnungen und zwei Skalensprünge. Außerdem spart man die Subtraktionen ein, d.h. man kann die komplette Rechnung mit der Rechenscheibe ausführen und benötigt lediglich Notizen und keine Nebenrechnungen auf Papier. Auch ist die Skala etwas länger (35 gegenüber 25 cm). Eigentlich sollte Röthers Rechenscheibe also genauere Ergebnisse liefern, die Ungenauigkeit liegt aber ebenfalls bei 1,2%.

Die Arbeit mit der Rötherschen Scheibe ist insgesamt weniger angenehm als mit dem Rechenschieber. Zwar kann man auf der klaren Skala ohne Lupe arbeiten, aber die dünne Scheibe am Rand zu drehen grenzt an Pfriemelei, auch stört massiv, dass der Läufer beim Drehen der Scheibe nur schwer exakt zu fixieren ist, was Nachjustieren erfordert. Das wäre besser zu lösen gewesen, wenn er den Läufer in eine Blindniete geklemmt und deren Stift mit etwas Reibung gelagert hätte, statt einfach eine Heftzwecke als gemeinsame Achse zu verwenden. Beim Rechenstab ist der Läufer von der Zunge, bei damaligen "Rechenuhren" die Drehung der Skala von der des beweglichen Zeigers völlig unabhängig.

Die für beide Varianten benötigte Zeit ist stark übungsabhängig. Ich habe mit der Rötherscheibe länger gebraucht als mit dem Rechenschieber, was aber daran lag, dass mir Rechnungen mit Geräten des Zwei-Skalen-Typs intuitiv leicht von der Hand gehen, während ich beim Einskalen-Typ, besonders bei dem mit nur einem beweglichen Zeiger, oft überlegen muss. 

Die Frage, ob "die umständliche Berechnung von Kreisabschnitten, die ja namentlich im modernen Städtebau so oft vorkommen" die Anschaffung der Scheibe und die Einarbeitung in proprietäre Skalen rechtfertigt, musste der potentielle Käufer beantworten. Dass der Leidensdruck dieser Umständlichkeit die einzige Motivation war, ohne maschinelle Unterstützung spezielle Skalen zu entwerfen, präzise zu zeichnen und zu Anfang auch noch selbst herzustellen, darf man bezweifeln. Wahrscheinlich ging es Röther mehr um die Anerkennung der Fachwelt. Die erhielt er auch. Und zumindest in einer Hinsicht war Röther seiner Zeit voraus: Im Jahre 1934 wurde die Rietz-Skala der gebräuchlichen Rechenstäbe im System Darmstadt ebenfalls um eine "pythagoreische Skala" P ergänzt. Damit konnte im rechtwinkligen Dreieck direkt vom Sinus auf den Kosinus und umgekehrt umgerechnet werden. Eine vergleichbare Umwandlungsskala, allerdings zwischen Sinus und Tangens ist auch in Röthers Rechenscheibe enthalten.

Im Kontrast zu Teilen der Geisteswelt, die damals den "Untergang des Abendlands" heraufdämmern sah, war der Anfang des 20. Jahrhunderts auch eine Zeit rasender technischer Entwicklung, und Herr Röther scheint einer der rastlosen Erfinder und Tüftler gewesen zu sein, die Spaß an der Technik hatten und neue Ideen um die Wette produzierten. So entstanden damals viele verrückte Konzepte und exotische Geräte in kleinen Auflagen, die heute die Sammler entzücken.

                                                                 
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